Задачі підвищеного рівня складності.

Задачі підвищеного рівня складності.

Задача № 1

Умова задачі. Дано трикутник зі сторонами a, b, c. Визначити, який це трикутник: гострокутний, тупокутний чи прямокутний.

Для розв’язання цієї задачі необхідно нагадати дітям наступне:

1)      З відрізків заданої довжини можна утворити трикутник тільки в тому випадку, якщо сума довжин будь-яких відрізків більша за довжину третього відрізка;

2)      Якщо з трьох відрізків можна побудувати трикутник, то він буде прямокутним тоді й тільки тоді, коли виконується теорема Піфагора, тобто коли сума квадратів двох сторін дорівнює квадрату третьої (це співвідношення може виконуватися для однієї пари сторін);

3)      Для гострокутного та тупокутного трикутників теорема Піфагора перетворюється на нерівність, причому для гострокутного повинні виконуватись всі три нерівності, а для тупокутного хоча б одна (дійсно, в гострокутному трикутнику всі кути менші за 90⁰, а в прямокутному та тупокутному хоча б один дорівнює або більше 90⁰ відповідно).

Крім того, очевидно, довжини всіх сторін не можуть бути від’ємними або нульовими.

Задача № 2

Умова задачі. Дано натуральне число N (N <=1000). Визначити суму першої і останньої цифр даного числа.

Для розв'язання цієї задачі ми скористаємося стандартними операціями цілочисельного ділення та остачі від ділення цілих чисел (операції div та mod). Нагадаємо, що результатом ділення числа націло на 10 буде ефект відкидання «молодшої» цифри числа (відповідно при діленні на числа 100, 1000, 10000 тощо будемо «відкидати» дві, три або чотири цифри числа). Результатом ж операції знаходження залишку від ділення на 10 буде остання цифра числа (відповідно при знаходженні залишку від ділення на 100, 1000, 10000 будемо отримувати дві останні, три останні, чотири останні цифри числа).

Наприклад:

234 div 10 = 23

9213 div 100 = 92

52 mod 10 = 2

2845 mod 1000 = 845.

 Задача №3

Умова: Дано натуральне число N (N?99). Визначити, чи правильно, що N² дорівнює кубу суми цифр цього числа.

Задача №4

Умова: Дано натуральне число N (N?9999). Враховуючи всі чотири цифри числа, визначити, чи правильно, що воно містить пари цифр, що повторюються.

Для розв’язання цієї задачі теж користуємось операціями ділення націло для виділення цифр числа, а потім розглядаємо всі можливі варіанти збігу пар цифр числа:

1)      Перша – друга та третя – четверта цифри;

2)      Перша – третя та друга – четверта цифри;

3)      Перша – четверта та друга – третя цифри.

Задача №5

Умова: Квадратний багаточлен заданий коефіцієнтами a, b, c, де a 0. Визначити, чи корені відповідного рівняння є парними числами.

Для розв'язання цієї задачі необхідно нагадати дітям алгоритм знаходження коренів квадратного рівняння:

1) обчислити дискримінант;

2) якщо ми отримали від'ємне число, то коренів для розв'язку квадратного рівняння з даними коефіцієнтами a, b, c не існує;

3) якщо дискримінант невід'ємний, то корені рівняння знаходяться за наступними співвідношеннями:

Парність коренів можна визначити, використовуючи операцію знаходження залишку від цілочисельного ділення на 2 (парне число при цьому у залишку має 0, а непарне — 1). Зверніть увагу на те, що парність або непарність можна визначити тільки для цілих чисел.

Задача №6

Умова задачі: Дано дійсні додатні числа a, b, c, x, y. Визначити, чи пройде цеглина з ребрами a, b, c у прямокутний отвір зі сторонами х та у. Проштовхувати цеглину дозволяється лише так, щоб кожне з її ребер було паралельним чи перпендикулярним кожній зі сторін отвору.

Для розв'язання цієї задачі пропонується впорядкувати розміри отвору та розміри цеглини за зростанням, тобто досягти того, щоб було a<=b<=c та x<=y. Тоді перевірка зведеться до порівняння розмірів отвору з найменшими розмірами цеглини (адже ми можемо цеглину розвернути будь-яким боком, щоб проштовхнути її у отвір).

Домашнє завдання:

1.                  На затонулому кораблі знайдені сундуки зі скарбами. Сундуки можна витягти тільки через ілюмінатор. Чи можна це зробити, якщо відомо: r – радіус ілюмінатора, a, b, c – лінійні розміри прямокутних сундуків.

2.                  Для дійсних значень a, b, c класти програму повного аналізу та рішення квадратного не рівняння: